Séminaire du 20 octobre 03, Thomas Cluzeau.

Algorithmes modulaires pour les équations différentielles linéaires

Le but de ce travail est l'étude d'équations différentielles linéaires à coefficients dans~$C(x)$, où $C$ est un corps de nombres, via des réductions modulo un nombre premier $p$.

Dans une première partie nous présenterons un algorithme de factorisation de systèmes différentiels à coefficients dans~$F_p(x)$, basé sur celui de M. van der Put. Nous détaillerons des comparaisons de stratégies et une analyse de leurs complexités. L'élément central pour factoriser en caractéristique~$p$ est la~$p$-courbure. Nous exhiberons les liens entre cette $p$-courbure et l'{\em Eigenring\/} et nous montrerons comment les utiliser pour obtenir un autre algorithme.

Une deuxième partie illustrera comment généraliser cet algorithme pour factoriser des systèmes d'équations aux dérivées partielles $D$-finis en caractéristique $p$.

Dans une troisième partie nous développerons l'idée de combiner des informations locales et modulaires pour obtenir des informations globales en caractéristique zéro. Nous nous intéresserons pour ceci au problème du calcul de solutions exponentielles et nous montrerons comment cette approche permet de simplifier notablement les goulots combinatoires de l'algorithme usuel, et en particulier, évite de travailler dans d'inutilement grandes extensions algébriques du corps de base. Cette troisième partie constitue un travail en collaboration avec M.~van Hoeij (Florida State University).