Séminaire du 26 avril 04, Jérémie Bouttier.

Intégrales de matrices et comptage de cartes

Dans cet exposé à vocation pédagogique, je présenterai la puissante méthode des intégrales de matrices pour le calcul de séries génératrices de cartes, développée par les physiciens [Brézin et al 1978].

Les cartes apparaissent en effet dans le développement en série perturbative (diagrammes de Feynman) de certaines intégrales multi-dimensionnelles (sur les entrées d'une matrice $N\times N$). Dans un développement asymptotique formel $N \to \infty$, la contribution dominante correspond aux cartes planaires (de genre 0), la première correction aux cartes de genre 1, etc.

Par ailleurs, les remarquables propriétés d'invariance de ces intégrales permettent d'évaluer, dans nombre de cas, ce développement asymptotique. Selon le temps disponible, je présenterai diverses techniques de calcul (méthode du col ou steepest descent, méthode des polynômes orthogonaux, équations de boucles, intégrales multi-matricielles...) et leurs applications à l'énumération de cartes (nombre de quadrangulations ou triangulations, équations de Bender-Canfield, modèle d'Ising...).


Virginie Collette
Last modified: Mon Apr 19 17:01:34 CEST 2004