Séminaire du 4 novembre 02, Éric Schost, GAGE, École polytechnique

Calcul du cardinal de la jacobienne d'une courbe de genre 2 en grande caractéristique

La jacobienne d'une courbe définie sur un corps fini est un groupe commutatif. Il est donc possible d'y construire des cryptosystémes, reposant sur le problème du logarithme discret. Tester la sécurité d'un tel cryptosystème demande de savoir calculer le cardinal du groupe dans lequel on travaille.

Cet exposé présente les étapes clé du calcul du cardinal pour une courbe de genre 2, définie sur un corps fini de grande caractéristique, problème sur lequel nous venons d'atteindre la "taille cryptographique" de 160 bits.

Ces calculs demandent de résoudre des problèmes très variés : systèmes polynomiaux en dimension positive, systèmes présentant des symétries, factorisation et extraction de racines dans des corps finis, problèmes de collision, ... Je détaillerai les solutions que nous avons apportées à quelques-uns d'entre eux.

(Travail en commun avec Pierrick Gaudry, LIX, École polytechnique.)