Calcul exact du déterminant et de l'inverse d'une matrice

Plusieurs techniques ont récemment permis d'améliorer le coût du calcul du déterminant, de la forme normale de Smith ou de l'inverse d'une matrice sous au moins trois modèles de calcul~:~pour le calcul sans division algébrique et une matrice sur un corps\,; pour le calcul binaire et une matrice entière\,; pour le calcul algébrique et une matrice boîte noire.

Nous donnerons un aperçu des principes mis en {\oe}uvre pour ces améliorations comme par exemple l'utilisation d'algorithmes de type Lanczos/Krylov par blocs, d'algorithmes par blocs en général et l'utilisation de perturbations additives.

Dans les deux premiers cas, sans division et binaire, les coûts obtenus se rapprochent ou atteignent le coût du produit de matrice. Dans le cas boîte noire, les coûts se rapprochent de $n^{2+o(1)} + n^{1+o(1)}$ produits matrice/vecteur.

Une partie de l'exposé aborde des résultats d'autres auteurs. Une autre partie regroupe des travaux en cours notamment en collaboration avec E. Kaltofen.