Irrationalité des valeurs de la fonction zêta de Riemann aux entiers impairs

Certaines séries hypergéométriques ``bien équilibrées'' permettent de construire des combinaisons linéaires à coefficients rationnels uniquement en les nombres $\zeta(2n+1)$. Les estimations arithmétiques et asymptotiques de ces combinaisons, combinées à des critères d'irrationalité et d'indépendance linéaire sur $\bf Q$ montrent alors les deux résultats suivants :

Théorème 1 : L'un au moins des neuf nombres $\zeta(5)$, $\zeta(7)$, \ldots, $\zeta(21)$ est irrationnel.

Théorème 2 : Une infinité des nombres $\zeta(2n+1)$ sont linéairement indépendants sur $\bf Q$.