Algorithmes rapides pour la résolution de systèmes polynomiaux

La résolution d'un système d'équations polynomiales admettant un nombre fini de solutions peut être réduite à des manipulations d'algèbre linéaire dans une algèbre de type fini $A$. Nous montrons comment accélérer cette phase d'algèbre linéaire pour calculer une ``paramétrisation rationnelle'' des zéros d'un tel système. Nous proposons des solutions algorithmiques nouvelles, qui étendent les idées introduites par V. Shoup dans le contexte de la factorisation de polynômes sur des corps finis. L'approche est fondée sur l'utilisation de la structure de $A$-module du dual $\hat{A}$, qui se traduit algorithmiquement par l'emploi de techniques du type ``pas de bébé / pas de géant''. Notre travail a été mené en collaboration avec B.~Salvy et É.~Schost.