Sur les fonctions $q$-Bessel de Jackson

La transformation de Laplace permet de résoudre des équations différentielles au voisinage d'un point singulier irrégulier. Le but de notre exposé est de présenter une transformation de Borel-Laplace basique, adaptée à des équations aux $q$-différences et basée sur la fonction thêta de Jacobi. Nous appliquerons la transformation aux équations satisfaites par les fonctions $q$-Bessel de F.~H. Jackson et nous en obtiendrons des matrices de connexion entre l'origine et l'infini. L'exposé se terminera avec diverses remarques sur la sommabilité de $q$-séries.