Analyse alg\'ebrique effective en automatique lin\'eaire

Dans les ann\'ees~60, Malgrange a montr\'e comment utiliser la th\'eorie des $D$-modules pour \'etudier les syst\`emes lin\'eaires d'\'equations aux d\'eriv\'ees partielles. Certains aspects de cette approche, baptis\'ee {\em analyse alg\'ebrique}, ont ensuite \'et\'e rendus effectifs dans les ann\'ees~90 gr\^ace aux d\'eveloppements des bases de Gr\"obner pour les anneaux d'op\'erateurs diff\'erentiels, et implant\'es dans diff\'erents syst\`emes.

R\'ecemment, l'introduction de l'analyse alg\'ebrique en automatique a permis de classifier les syst\`emes de contr\^ole lin\'eaires multidimensionnels suivant les propri\'et\'es alg\'ebriques de $D$-modules associ\'es, de red\'efinir de mani\`ere plus intrins\`eque les propri\'et\'es structurelles des syst\`emes de contr\^ole lin\'eaires, et de d\'evelopper des tests effectifs permettant de v\'erifier ces propri\'et\'es structurelles.

Cet expos\'e montrera l'int\'er\^et de ces m\'ethodes en mettant l'accent sur les algorithmes implantables dans les syst\`emes existants. En particulier, nous indiquerons comment utiliser les fonctions sp\'eciales (fonctions/modules holonomes) pour stabiliser certaines classes de syst\`emes lin\'eaires \`a temps variant. Enfin, nous envisagerons le d\'eveloppement d'une bo\^\i te \`a outils pour l'automatique lin\'eaire.