Un critère de non complète intégrabilité pour les systèmes hamiltoniens

En 1998, J.-J. Morales et J.-P. Ramis ont établi un critère de non complète intégrabilité des systèmes hamiltoniens portant sur une équation différentielle linéaire dépendant de paramètres, ``l'équation aux variations''.

Nous exposons ici un critère de non complète intégrabilité déduit de ce théorème et plus facile à tester en pratique. Ce critère repose en effet sur deux points~: la présence de termes logarithmiques dans les solutions formelles et la factorisation des opérateurs différentiels linéaires.

Afin d'appliquer ce critère, nous étudions l'adaptation des algorithmes connus (pour le calcul des solutions formelles et la factorisation) de la situation non paramétrée à la situation paramétrée. Nous mettons pour cela en évidence deux parties, l'une automatisable, et l'autre indécidable.

Enfin, nous illustrons tout cet exposé par le problème plan des trois corps dont nous montrons la non complète intégrabilité.