Q1. 

>

restart;

 

>	ComposedSumByResultant:=proc(f,g,x) local t; resultant(subs(x=t,f),subs(x=x-t,g),t) end:

 

>	ComposedSumByResultant(x-alpha,x-beta,x);

 

>	ComposedSumByResultant(x^2-2,x^2-3,x);

 

>	solve(%,x);

 

Q2. 

>	ComposedProductByResultant:=proc(f,g,x) local t; resultant(subs(x=t,f),expand(t^degree(g,x)*subs(x=x/t,g)),t) end:

 

>	ComposedProductByResultant(x-alpha,x-beta,x);

 

>	ComposedProductByResultant(x^2-2,x^2-3,x);

 

>	solve(%,x);

 

Q3. 

>	f:=x^7-7*x+3;

 

>	factor(f);

 

Ceci prouve que f  est irréductible. 

Le discriminant peut être calculé de deux façons : soit en utilisant la fonction proposée par Maple 

>	discrim(f,x);

 

soit par un calcul de résultant 

>	resultant(f,diff(f,x),x);

 

>

sqrt(%%);

 

Le discriminant est bien un carré parfait. 

Q4. 

>	fplusf:=ComposedSumByResultant(f,f,x);

 

>	factor(fplusf);

 

Le premier facteur correspond aux sommes de racines non distinctes et c'est le second qui nous intéresse : 

>	ComposedProductByResultant(f,x-2,x);

 

>	f21:=op([2,1],%%);

 

Il est bien irréductible, sinon factor aurait plus factorisé fplusf. 

Q5. 

La somme des triples des racines : 

>	pol1:=ComposedProductByResultant(f,x-3,x);

 

La somme des 2α+β, où α et β sont racines distinctes : 

>	pol2:=normal(ComposedSumByResultant(f,ComposedProductByResultant(f,x-2,x),x)/pol1);

 

Enfin, le résultat où les racines ne sont prises qu'une fois, mais à la puissance 6 à cause de l'ordre dans lequel elles peuvent être prises : 

>	f35puiss6:=normal(ComposedSumByResultant(fplusf,f,x)/pol1/pol2^3);

 

>	factors(f35puiss6);

 

>	f35:=mul(fact[1]^(fact[2]/6),fact=%[2]);

 

>	degree(f35,x);

 

Ce polynôme se factorise bien comme le produit d'irréductibles de degré 7 et 28, ce qui permet de conclure sur le groupe de Galois de f. 

Q6. 

>	maxexact:=7;

 

>	T[0]:=X: p:=1: for n to maxexact do p:=nextprime(p); T[n]:=expand(subs(X=X-sqrt(p),T[n-1])*subs(X=X+sqrt(p),T[n-1])) od;

 

Q7. 

>	p:=prevprime(2^32);

 

>	for n to 6 do n,factor(T[n]), Factor(T[n]) mod p od;

 

>

 

Q8. 

>

T:=X^2-2;

 

>	for i from 2 to 10 do st:=time();T:=ComposedSumByResultant(X^2-ithprime(i),T,X);print(i,time()-st) od:

 

>