Q1. Les dix premières dérivées et la forme générale 

>	for i to 10 do i,normal(diff(sqrt(x^2-1),x$i)) od;

 

Le degré du numérateur semble être et l'exposant du dénominateur . 

Q2. Le polynôme  

>	normal(diff(sqrt(x^2-1),x$100));

 

>	p:=numer(%):

 

Q3. Une récurrence pour ses coefficients 

>	S:=series(p,x,100):

 

>	gfun:-seriestorec(S,u(k));

 

Q4. Une récurrence pour les coefficients de  

>	collect(op([1,1],%),u,factor);

 

>	subs(k=k-1,%);

 

On intuite la forme générale suivante : 

>	recn:={u(k+2)*(k+1)*(k+2)-(k-n)*(k-n+2)*u(k),u(0)=u0,u(1)=0};

 

Q5. La résoudre 

>	co:=rsolve(recn,u(k));

 

La formule ne convient pas pour entier pair, il faut donc donner cette information supplémentaire : 

>	assume(n::even,n>0);

 

>	co:=rsolve(recn,u(k)) assuming  k::even;

 

vérification : 

>	eval(co,[n=100,k=10,u0=coeff(p,x,0)]);

 

>	%-coeff(p,x,10);

 

Q6. Conditions initiales 

>	for i to 20 do c[i]:=coeff(numer(diff(sqrt(x^2-1),[x$i])),x,0) od;

 

>	gfun:-listtorec([1,seq(c[i],i=1..20)],u0(n));

 

>	ini:=rsolve(op(1,%),u0(n));

 

vérification : 

>	eval(ini,n=100);

 

>	%-coeff(p,x,0);

 

Q7. La formule générale conjecturée 

>	sol:=subs(u0=ini,co);

 

vérification : 

>	eval(sol,[n=20,k=8]);

 

>	%-coeff(numer(normal(diff(sqrt(x^2-1),x$20))),x,8);

 

La construction de à partir de ses coefficients ne fonctionne pas sans aide : 

>	Pn:=sum(sol*x^k,k=0..n-2);

 

>	Pn:=sum(subs(k=2*m,sol)*x^(2*m),m=0..n/2-1);

 

>	resultat:=Pn/(x^2-1)^(n-1/2);

 

vérification : 

>	eval(resultat,n=10);

 

>	simplify(%-diff(sqrt(x^2-1),x$10));

 

Q8. La preuve 

C'est une preuve par récurrence sur n. Pour n=0 : 

>	eval(resultat,n=0);

 

Ensuite : 

>	zero:=diff(resultat,x,x)-subs(n=n+2,resultat);

 

>	expand(zero);

 

>	simplify(%);

 

Et voilà ! Nous avons découvert, puis prouvé, une formule générale pour la dérivée ième de à savoir 

>	diff(sqrt(x^2-1),x$n)=resultat;

 

Cette formule est valable pour n pair. Le même genre de calcul donne le cas impair.