Tour d'horizon des fonctionnalites

Premiers essais

> int(1/(1+x^2),x=0..infinity);

> sin(%);

> plot(sin(x),x=-Pi..Pi);

> p1:=%:

> series(sin(x),x=Pi,8);

> series(sin(x),x,8);

> convert(%,polynom);

> p2:=plot(%,x=-3*Pi/2..3*Pi/2):

> plots[display](p1,p2);

> plot3d(x^2-y^2,x=-10..10,y=-10..10);

Les fonctions d'aide

> ?plot

Entiers et rationnels

> 2+2;

> 2^10;

> 7^500;

> 100!;

> 1000!;

> igcd(1000!,7^500);

> 1000!/7^500;

> ?numtheory

C'est le premier exemple de package. Le help est omis ici, mais on y voit que certaines fonctions s'obtiennent directement :

> nextprime(10^20);

alors que d'autres ont besoin d'une forme d'appel plus longue :

> numtheory[cyclotomic](7,x);

ou :

> with(numtheory,cyclotomic):

> cyclotomic(8,x);

Algbre linaire

La syntaxe des matrices

> A:=array([[1,x,y],[x,y,z],[y,z,1]]);

Le package linalg contient les fonctions relatives aux matrices

> ?linalg

> linalg[det](A);

> linalg[charpoly](A,lambda);

> B:=subs(x=2,y=3,z=4,eval(A));

> linalg[jordan](B,'P');

> P;

> eval(P);

Le produit de matrices

> linalg[multiply](A,B);

ou

> evalm(A &* B);

Calculs polynomiaux

> p:=x^5*y+3*x^2+1;

> degree(p,x);

> coeff(p,x,2);

> expand((x+1)^20);

> factor(%);

un polynme alatoire :

> randpoly(x);

> factor(%);

Ceci prouve l'irrductibilit.

> f:=(1+x*(1+y))^2/(1-y^2);

> collect(f,x);

> collect(f,x,normal);

Un peu plus de vrai calcul :

> P:=x^10-v*x^9-x+v;Q:=2*x^3+5*u*x^2+2*u^2*x+x+2*u;

> rem(P,Q,x);

on a aussi le pgcd

> gcd(P,Q);

et la version Bezout (plus lente) :

> gcdex(P,Q,x,'U','V');

on a donc , avec

> 'U'=U,'V'=V;

On peut verifier

> normal(U*P+V*Q);

Bien sr, la primalit relative ne survit pas la spcialisation :

> resultant(P,Q,x);

> factor(%);

> gcd(P,subs(u=-3,Q));

On peut aussi manipuler des fractions

> f:=7/((x+1)^7-x^7-1);

> convert(f,parfrac,x);

recherche des racines exactement

> solve(1/f,x);

> solve(a*x^3+b*x^2+c*x+d,x);

ou numeriquement

> fsolve(f=1,x);

on peut aussi trouver les racines complexes d'un polynome

> fsolve(numer(f-1),x,complex);

> fsolve(numer(f-1),x);

> Digits:=100:

> fsolve(numer(f-1),x,complex);

Toutes les solutions ne s'expriment pas facilement

>

> solve(x^7+x+1,x);

On peut manipuler cet objet avec evala (a pour algebrique)

> alias(alpha=%);

> evala(Normal((alpha^5+1)/(alpha^2-1)));

On peut aussi compter le nombre de racines sur un intervalle de R

> readlib(sturm):

> sturm(sturmseq(x^7+x+1,x),x,-infinity,infinity);

et quelques autres simplifications sont possibles

> sum(x^10,x=RootOf(x^4+a*x+b,x));

Primitives, equations differentielles

> int(1/(x^2-2),x);

> int(exp(x^2),x);

> int(exp(x^3),x);

> int(tanh(x^2),x);

Ceci prouve qu'il n'y a pas de primitive elementaire.

Des intgrales dfinies (par recherche en table) :

> int(exp(-x^2)*log(x),x=0..infinity);

et un peu de transformes de Fourier

> ?inttrans

> inttrans[fourier](1/(1+x^2),x,s);

> plot(%,s=-10..10);

> deq:=diff(y(x),x,x)^2=(1+diff(y(x),x))^3;

> subs(x=0,diff(y(x),x));

> %;

Error, wrong number (or type) of parameters in function diff

> dsolve({deq,y(0)=0,D(y)(0)=1},y(x));

> deq:=(x^3/2-x^2)*diff(y(x),x,x)+(2*x^2-3*x+1)*diff(y(x),x)+(x-1)*y(x);

> dsolve(deq,y(x));

Un (tout petit) peu d'EDP :

> ?PDEtools

> ?examples,vib_membrane

Suites et series

> rsolve({u(n+2)=u(n+1)+u(n),u(0)=1,u(1)=1},u(n));

> v:=(3*n^3-10*n^2-9*n+11)*(n+1)!*2^n/(2*n+3)!/(n-5)/(n-4);

> Sum(v,n)=sum(v,n);

Quelques sommations definies

> sum(n!*z^n/(2*n+1)!,n=0..infinity);

Developpement en series

> f:=(sin(Pi/(6+x))+cos(Pi/(3+x)))^(1/x);

> series(f,x,4);

> series(arccos(1-x),x);

> asympt(n!,n);

>

Une session reelle est un melange de tout ca, avec experimentations, calculs de valeurs numeriques, petites procedures,...