Fonctions holonomes en calcul formel (résumé)
Frédéric Chyzak
Résumé :
Cette thèse montre comment le calcul formel permet la
manipulation d'une grande classe de suites et fonctions solutions
d'opérateurs linéaires, la classe des fonctions
holonomes. Celle-ci contient de nombreuses fonctions
spéciales, en une ou plusieurs variables, et de nombreuses
suites de la combinatoire. Un cadre théorique est tout d'abord
introduit pour algorithmiser les propriétés de
clôture de la classe holonome, pour y permettre un test à
zéro et pour unifier les calculs différentiels sur les
fonctions et les calculs de récurrences sur les suites. Ces
méthodes s'appuient sur des calculs par une extension de la
théorie des bases de Gröbner dans un cadre de
polynômes non commutatifs, les polynômes de Ore. Deux
types d'algorithmes de sommation et d'intégration symboliques
définies et indéfinies sont ensuite
développés, dont la justification théorique fait
appel à la théorie des 
-modules holonomes. Les premiers ont
recours à une élimination polynomiale non commutative
par bases de Gröbner ; les seconds à des algorithmes
de résolution de systèmes fonctionnels linéaires
en leurs solutions fractions rationnelles. Bien plus que la recherche
de formes closes, l'objectif est de pouvoir continuer à
calculer avec la représentation implicite des objets holonomes
même en l'absence de formes explicites. Ce type de calculs
permet en particulier la preuve automatique d'identités
sommatoires et intégrales. Une implantation de ces algorithmes
dans le système de calcul formel Maple a permis de
donner la première preuve automatique d'identités
jusqu'à présent inaccessibles par le calcul formel.
Mots-clé :
calcul formel, fonctions holonomes, intégration symbolique,
sommation symbolique, élimination polynomiale, bases de
Gröbner, -modules, algorithme de Zeilberger, opérateurs de
Ore.